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C13 Représentation des flottants

Introduction

Effectuer les calculs suivants dans la console Python de votre choix (un émulateur est disponible ci-dessous)

Tronquer ou non le feedback dans les terminaux (sortie standard & stacktrace / relancer le code pour appliquer)
Si activé, le texte copié dans le terminal est joint sur une seule ligne avant d'être copié dans le presse-papier
  1. Calculer 0.1 + 0.2. Le résultat obtenu est-il exactement 0.3 ?
  2. Que donne 0.1 + 0.2 == 0.3 ?
  3. Que donne 2**50+0.1-2**50 ? Quel est le résultat correct de ce calcul ?
  4. Que donne 10**500 ? Et 10.0**500 ?
  5. Importer la fonction racine carré en tapant from math import sqrt, que donne (sqrt(2))**2 ? Quel est le résultat correct de ce calcul ?
  6. Quelle est l'écriture décimale de la fraction \(\dfrac{1}{3}\) ? Que donne le calcul de 1/3 ?
  7. Quelle conclusion tirer de ces quelques exemples ?

Cours

Support de cours chapitre 13

Attention

Ce diaporama ne vous donne que quelques points de repères lors de vos révisions. Il devrait être complété par la relecture attentive de vos propres notes de cours et par une révision approfondie des exercices.

Travaux pratiques

â–ª Exercice 1 : Un peu de programmation Python

  1. Ecrire une fonction python decimale(chiffres_binaires) qui prend en argument une liste chiffres_binaires représentant les chiffres situés après la virgule en écriture binaire et renvoie l'écriture décimale. Par exemples :

    • decimale([0,1]) doit renvoyer \(0,25\) en effet : \(0,01_{2} = 2^{-2} = 0,25\)
    • decimale([1,1,0,1]) doit renvoyer \(0,8125\) en effet : \(0,1101_{2} = 2^{-1} + 2^{-2} + 2^{-4} = 0,8125\)

  2. Ecrire une fonction python dyadique(chiffres_decimaux,taille_max) qui prend en argument une liste chiffres_decimaux représentant les chiffres situés après la virgule en écriture décimale et renvoie l'écriture dyadique en se limitant à une mantisse de taille_max. Par exemples :

    • dyadique([7,5],12) doit renvoyer [1,1] car \(0,75_{10} = 0,11_{2}\)
    • dyadique([1],12) doit renvoyer [0,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1] car \(0,1_{10} = 0,000110011001100110011..._{2}\) et on se limite à 12 chiffres après la virgule.

    Aide

    Revoir si besoin l'algorithme vu en cours pour passer de l'écriture décimale à l'écriture dyadique.

â–ª Exercice 2 : Comparaisons entre flottants

On considère le programme Python suivant : 

1
2
3
4
5
6
x = 0.3
tour = 0
while x != 0.0:
    tour += 1
    x = x - 0.1
print("Nombre de passages dans la boucle = ",tour)

  1. Combien de fois devrait-on passer dans la boucle while ? et quel est l'affichage attendu ?
  2. Recopier et executer ce programme. Que se passe-t-il ? pourquoi ?
  3. Remplacer le test de la ligne 3 par while x > 0. Expliquer le résultat obtenu

â–ª Exercice 3 : Discriminant

  1. Ecrire une fonction discriminant qui prend en paramètres trois flottants \(a,b\) et \(c\) et renvoie \(b^2-4ac\).
  2. Ecrire une fonction nombre_solutions qui prend en paramètre un flottant \(d\) et affiche 2 solutions si \(d>0\), 1 solution si \(d=0\) et pas de solutions si \(d<0\).
  3. Déterminer le nombre de solutions réelles des équations suivantes et comparer avec les résultats obtenus en utilisant les deux fonctions ci-dessous :
    • \(x^2 + 1,4x - 0,49 = 0\)
    • \(x^2 + 0,6x - 0,09 = 0\)
    • \(x^2 + 0,4x - 0,04 = 0\)
  4. Interpréter ces résultats

â–ª Exercice 4 : Comportement d'une suite

On considère la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par :
\(\left\{ \begin{array}{ll} u_0=e-1 \\ u_{n+1} = (n+1)\,u_n - 1 \end{array}\right.\)

  1. Montrer que cette suite converge et a pour limite 0

    Aide

    On pourra note \(\displaystyle{S_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}}\), admettre que pour tout \(n \in N\), \(S_n \leqslant e \leqslant S_n + \dfrac{1}{n\,n!}\) et suivre les étapes suivantes :

    • montrer que \(\displaystyle{e = \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n}\)
    • montrer que pour tout \(n \in N\), \(u_n = n!\,(e-S_n)\)
    • conclure

  2. Ecrire un programme, qui affiche les \(30\) premiers termes de la suite \(u\). On utilisera la constante e de math comme valeur de \(e\).

  3. Expliquer le résultat obtenu.

▪ Exercice 5 : Convergence numérique et mathématique

On considère la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par :
\(\left\{ \begin{array}{ll} u_1= \dfrac{5}{4} \\ u_2 = \dfrac{7}{5} \\ u_{n+2} = 10 - \dfrac{23}{u_{n+1}} + \dfrac{14}{u_nu_{n+1}} \end{array}\right.\)

  1. Vérifier que le terme général de \((u_n)\) est \(\dfrac{2^n+3}{2^{n-1}+3}\) et en déduire que \((u_n)\) converge et donner sa limite.
  2. Ecrire un programme qui affiche les 40 premiers termes de la suite \(u\).
  3. Expliquer le résultat obtenu.